向量点乘公式是什么

向量点乘公式是计算两个向量之间点积的数学表达式。

向量点乘公式是什么

对于两个n维向量A和B，其点乘公式为：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + ... + AₙBₙ。其中，A₁, A₂, ..., Aₙ和B₁, B₂, ..., Bₙ分别是向量A和B的对应分量。点乘的结果是一个标量，表示两个向量在方向上的相似程度。

点乘的几何意义是向量A在向量B方向上的投影长度与向量B的长度的乘积。如果两个向量的夹角为θ，则点乘公式也可以表示为：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别是向量A和B的模长。

点乘在物理学和工程学中有广泛应用，例如计算功、判断向量是否正交等。当点乘结果为零时，说明两个向量垂直；当结果为正时，说明夹角小于90度；当结果为负时，说明夹角大于90度。

点乘的性质包括交换律（A·B = B·A）、分配律（A·(B + C) = A·B + A·C）以及与标量乘法的结合律（k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)）。这些性质使得点乘在向量运算中非常灵活和实用。

理解向量点乘公式及其几何意义，有助于更好地解决与向量相关的数学和物理问题。