向量内积公式是什么

向量内积公式是计算两个向量之间关系的重要工具。在二维或三维空间中，给定两个向量a=(a₁,a₂,...,an)和b=(b₁,b₂,...,bn)，它们的内积定义为对应分量乘积的和，即a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+anbn。

几何意义上，向量内积还可以表示为|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模，θ是两向量之间的夹角。这种形式常用于判断向量的方向关系，例如当cosθ为正时，两向量夹角小于90°；为负时，夹角大于90°；为零时，两向量垂直。

在实际应用中，向量内积广泛用于物理学、计算机图形学和机器学习等领域。比如在投影计算中，内积可以直接求出一个向量在另一个向量方向上的投影长度。内积还能用于衡量向量间的相似性，在数据处理中具有重要意义。

向量内积公式有两种表达方式：代数形式a₁b₁+a₂b₂+...+anbn和几何形式|a|·|b|·cosθ。两者各有用途，根据具体问题选择适当的形式即可。