两角和差公式如何推导

两角和差公式是三角学中的核心内容，用于计算两个角度的和或差的正弦、余弦值。其最终形式为：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。这些公式在几何、物理和工程中有广泛应用。

两角和差公式如何推导

从单位圆出发，假设角度α和β分别对应单位圆上的点P(cosα, sinα)和Q(cosβ, sinβ)。通过向量方法，将点P和Q的坐标表示为向量OP和OQ。利用向量点积定义，OPOQ=|OP||OQ|cos(α-β)，其中|OP|=|OQ|=1。因此，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。同理，通过向量叉积可得sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

对于两角和的情况，只需将β替换为-β，并利用正弦和余弦的奇偶性：sin(-β)=-sinβ，cos(-β)=cosβ。代入后即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

几何法也能推导这些公式。在单位圆上画出角α和β的终边，构造一个三角形，利用相似三角形和直角三角形的边角关系，结合正弦和余弦定义，逐步推导出公式。这种方法直观但较繁琐。

无论采用向量法还是几何法，两角和差公式的推导过程都体现了数学中对称性与逻辑性的统一，展现了三角函数内在的优美结构。