等差数列求和推导过程是怎样的

等差数列求和公式为\( S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \)，其中\( n \)是项数，\( a_1 \)为首项，\( a_n \)为末项。这个公式简洁高效，适用于快速计算。

等差数列求和推导过程是怎样的

先从最基础的定义出发，等差数列是指相邻两项的差值固定。假设首项为\( a_1 \)，公差为\( d \)，则第\( n \)项可表示为\( a_n = a_1 + (n-1)d \)。接下来考虑如何将所有项相加。

将数列正序写为\( a_1, a_2, \dots, a_n \)，再将其倒序写为\( a_n, a_{n-1}, \dots, a_1 \)。两组数列上下对应相加，每一组和都是相同的，且等于\( a_1 + a_n \)。由于共有\( n \)项，总和就是\( n \times (a_1 + a_n) \)。

这种加法实际上把原数列的所有项算了两次，因此需要除以2，得到最终公式\( S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \)。这一推导方法简单直观，体现了对称思想的魅力。

如果用具体例子验证，比如数列1、3、5、7、9，首项1，末项9，项数5。代入公式，总和为\( \frac{5}{2} \times (1 + 9) = 25 \)，与逐项相加结果一致。

通过这种方式，能快速理解和记忆等差数列求和公式的核心逻辑。