罗尔中值定理例题有哪些

罗尔中值定理是微分学中的重要定理，适用于闭区间上连续、开区间内可导且两端点函数值相等的函数。通过例题可以更好地理解其应用。

罗尔中值定理例题有哪些

一个典型例题是验证函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 在区间 \([1, 3]\) 上是否满足罗尔定理条件。首先检查函数在 \([1, 3]\) 上是否连续且在 \((1, 3)\) 内可导，显然该函数为多项式，满足这些条件。接着计算端点值 \( f(1) = 0 \) 和 \( f(3) = 0 \)，发现两端点函数值相等。根据罗尔定理，必存在一点 \( c \in (1, 3) \) 使 \( f'(c) = 0 \)。求导得 \( f'(x) = 2x - 4 \)，令 \( f'(c) = 0 \)，解得 \( c = 2 \)。因此 \( c = 2 \) 是满足条件的点。

另一个例子是函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的应用。函数在闭区间上连续且开区间内可导，同时 \( f(0) = 0 \) 和 \( f(\pi) = 0 \)。求导后得 \( f'(x) = \cos x \)，令 \( f'(c) = 0 \)，解得 \( c = \frac{\pi}{2} \)。这说明 \( c = \frac{\pi}{2} \) 是满足定理的点。

再比如函数 \( f(x) = |x| \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的情况。尽管两端点函数值相等，但函数在 \( x = 0 \) 处不可导，因此不满足罗尔定理条件。这个例子说明了定理的前提条件的重要性。

通过这些例题可以看出，罗尔中值定理不仅帮助我们找到特定点的存在性，还能加深对函数性质的理解。