末项公式如何推导

等差数列的末项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。该公式通过逐项累加公差推导而来。

末项公式如何推导

等差数列的特点是相邻两项的差值恒定。若已知首项a₁，第二项可表示为a₁ + d，第三项为a₁ + 2d，以此类推。观察规律，第n项需在首项基础上累加(n-1)次公差。例如，第四项对应a₁ + 3d，此时n=4，验证得a₄ = a₁ + (4-1)d。

进一步推广，若将项数n代入表达式，末项即为a₁与(n-1)倍公差的和。此过程无需复杂计算，仅需明确项数变化与公差累加次数的对应关系。假设n=1时，公式退化为a₁，与定义一致；n=2时，公式结果为a₁ + d，符合实际数列规律。

公式的通用性可通过数学归纳法验证。假设第k项成立，即aₖ = a₁ + (k-1)d，则第k+1项为aₖ + d = a₁ + (k-1)d + d = a₁ + kd，符合公式形式。由此递推关系可知，公式对任意正整数n均成立。